Segédlet matek 8

1. Hatványozás

Elnevezések:

Tanuld meg!
- Minden 0-tól különböző szám 0. hatványa 1
   pl. 1⁰=1, 2⁰=1, (-0,2) ⁰=1, stb.

- Minden szám első hatványa maga a szám
   pl. 0¹=0, 1¹=1, 2¹=2, (-0,2) ¹=-0,2 stb.

- Mit is jelent a kitevő, azaz pl. 2² ?
  A kitevő lényegében azt jelenti, hogy annyiszor kell önmagával megszorozni a számot.
   pl. 2⁴=2*2*2*2 = 16

- Mi történik, ha azonos alapú hatványokat szorzunk össze?
Pl. 3⁵*3⁷

Az ábrán is látszik, hogy a 3⁵ azt jelenti, hogy 3*3*3*3*3. Ezt szorozzuk össze 3⁷-nel, ami azt jelenti hogy: 3*3*3*3*3*3*3. Ilyen esetben a hatványalapot változatlanul leírjuk, a kitevőket pedig összeadjuk. Így lesz az eredmény 3¹²

- Mi történik, ha azonos alapú hatványokat osztunk?
   Ilyen esetben is könnyű dolgunk lesz, mert a kitevőket nem össze kell adni, hanem ki kell
   vonni egymásból.
   Pl. 3⁶:3²=3^6-2=3⁴
   Tehát a 6-ból elvettem a 2-t. Így lett 4.
   Ne ijedjünk meg, ha az eredmény mínusz lesz, vagy adott esetben 0. Ez teljesen
   rendben van. Pl. 3²⁵:3²⁵=3⁰=1 Hiszen bármely szám nulladik hatványa 1.


- Mi történik, ha hatványt hatványozunk?
   Hatvány hatványozása esetén a kitevőket össze kell szorozni.
   pl. (4²)³= 4⁶ Mert 2*3=6

- A 2 és az 5 fontosabb hatványai. Később a prím számokra bontáskor ez jól jön!


 

2. A számok normálalakja

Minden egynél nem kisebb szám felírható egy 1 és 10 közé eső szám és 10 valamelyik nemnegatív egész kitevőjű hatványának szorzataként.

Pl.
1 = 1*10⁰
35,4 = 3,54*10¹
3540 = 3,54*10³
2000 = 2*10³

3. Osztó, többszörös

1.
Prím számok (másnéven törzs számok): Azok a számok, amiknek csak két osztójuk van, önmaguk és az 1.
Leggyakoribb prím számok: 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 17, 19

2.
Összetett számok: Olyan pozitív természetes számok, amiknek kettőnél több pozitv egész osztójuk van.

3.
Ha egy "a" szám felírható egy "b" szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a "b" számot az "a" osztójának, az "a" számot a "b" többszörösének nevezzük.
Pl.
60=4*15
Ebben az esetben a 4 a 60 osztója.
A 60 a 4-nek többszöröse.

4.
Minden összetett szám felbontható törzsszámok (prímek) szorzatára.

5.
A legnagyobb közös osztó
Két szám legnagyobb közös osztója az adott számok mindegyikének osztója, az összes
közös osztójának többszöröse.
Az a és b legnagyobb közös osztójának jelölése: (a;b)
Két vagy több szám legnagyobb közös osztóját úgy is meghatározhatjuk, hogy a közös prímtényezőket az előforduló legkisebb hatványon összeszorozzuk.
Pl. 756= 2²*3³*7¹, 1080 = 2³*3³*5¹ Ezért: (756;1080) = 2²*3³= 108

6.
A legkisebb közös többszörös
Két szám legkisebb közös többszöröse az adott számok mindegyikének többszöröse, az összes közös többszörösének osztója.
Az "a" és "b" szám legkisebb közös többszörösének jelölése: [a;b]
Két szám legkisebb közös többszörösét úgy is meghatározhatjuk, hogy az összes előforduló prímtényezőt az előforduló legnagyobb hatványon összeszorozzuk.
Pl. 756= 2²*3³*7¹, 1080 = 2³*3³*5¹ Ezért: [756;1080] = 2³*3³*5¹*7¹ = 7560